Matematiker bruker dynamiske ideer for innsikt i geometri i et rom

Anonim

Steven Frankel er ikke sulten. Han vil bare snakke om nudler.

Frankel viser en stor bolle med nudler - og om, og når, kan nudlene løpe rundt på seg selv - uendelig ekstrudert, som det er mulig, fra en slags kosmisk pasta maker.

Nudlene er en forenklet måte for Frankel, assisterende professor i matematikk i kunst og vitenskap ved Washington University i St. Louis, for å beskrive en sammenheng mellom geometri i et rom og dynamikken i den plassen - hvordan rommet endres over tid. Det er en del av hans første soloforfatterpapir i den ledende tidsskriftet for hans felt, Annals of Mathematics .

Geometriere og dynamikere har en tendens til å danne to separate leirer i matte, men Frankel foretrekker å tenke på disse tingene i kombinasjon. Og han er ikke alene. I juni 2018 reiste han til Shenzhen, Kina, for å presentere noe av sitt arbeid som en del av den internasjonale konferansen om dynamiske systemer.

"Du kan bruke noen av de dynamiske ideene til å få innblikk i geometrien til et rom, " sa Frankel. "Det gir deg en måte å bryte opp et tredimensjonalt rom i endimensjonale tråder. Og du kan håpe at hvis du kan forstå disse endimensjonale tråder, så forstår du også hvordan de passer sammen for å få litt innsikt i din rom."

Bilde en strøm som et grunt væskeblad i bevegelse. Hvis du kunne identifisere et enkelt molekyl i den strømmen, og spore hvordan det beveger seg over tid, kan du tenke deg å bygge et slags kart som viser hvor poenget gikk og når.

Hvis i stedet for å flytte på overflaten av et ark, flyttet strømmen over et tredimensjonalt rom med forskjellige geometriske egenskaper, kan du fremdeles bygge et kart over et punkts sted over tid. Men kartet ville se annerledes ut: Plassen ville bli fylt med tråder eller kurver som representerer stiene til hvert punkt - de nudlene igjen.

Frankels nye papir, grov hyperbolicitet og lukkede baner for kvasigeodestrømmer, viser en formodning av Danny Calegari, matematiker fra University of Chicago, som var Frankels tidligere rådgiver og mentor. Calegari forutslo at disse strømningene ville ha stengt baner - noe som betyr at noen av dem nødvendigvis ville flyte tilbake til hvor de startet; Frankel gjorde det tunge løftet for å bevise at det var sant.

"Det er et forhold mellom disse dynamiske fenomenene som vises - de stasjonære punktene og de tilbakevendende punkter, for eksempel - og den store strukturen til det underliggende rommet som denne dynamiske strukturen er representert av, " sa Frankel.

Frankel begynte i ingeniørfag som en bachelor i Cooper Union, men fant snart sin lidenskap i ren matematikk. Han fullførte sin Ph.D. ved University of Cambridge i 2013, etter å ha fulgt Calegari til Storbritannia fra California Institute of Technology i 2011. Frankel lærte deretter matte på Yale University i fire år.

Han lærte sin første klasse på Washington University høsten 2017.

"Hver student var fantastisk, " sa Frankel, om undergraduates i over-divisjonskurset i grafteori. "Ikke alle var en superstjerne. Men i slutten var det alle som var komfortable å stille spørsmål midt i klassen - og forstyrre meg når de trodde jeg hadde feil.

"De var virkelig engasjert i å lære, " sa Frankel. "Jeg kan ikke overvurdere hvor viktig det er.

"Det er denne myten at læring matematikk handler om å huske en rekke teoremer og lære å koble dem sammen, " sa han. «Den beste måten å lære er å ha et spørsmål i tankene, og å peke på det, og prøv å svare på det selv. Og det krever et nivå av engasjement fra den delen av studenten som du ikke finner overalt.»

Som bringer oss tilbake til pastaen, og de viktigste funnene fra hans papir.

"Det er den silliest, men likevel nøyaktige måten å si hva dette papiret sier, " sa Frankel. "Hvis du har en bolle og den er fylt med nudler som ikke kaster opp for mye, må noen av disse nudlene danne sløyfer."

Men er nudlene linguine? Eller rigatoni?

Frankel gjør deg ikke dum for å spørre. (Svaret: linguine)

"Tingen med matematikk er at det ikke er noen åpenbare spørsmål, " sa Frankel. "I matematikk er det ingen åpenbare spørsmål fordi du ikke arbeider med objekter som ligger rett foran deg."

Han er rask til å påpeke innflytelsen fra tidligere generasjoner, og også dagens arbeid av mennesker rundt seg i en avdeling.

"Matematikk er en samfunnsaktivitet, ikke en individuell, " sa Frankel. "Jeg kan ikke bare fortelle meg selv å sitte i det setet og tenke. Jeg kan ikke lære meg å komme opp med noe interessant ut av det blå.

"For noen grunn er det bare måten våre sinn fungerer på. Du må styres av noe. Spørsmålene eller formodningene du finner i matematikk-de kan være interessante i deres egen rett, de kan være interessante på grunn av hvor de fører deg, " han sa. "Det er like mye - om ikke viktigere - å finne de riktige spørsmålene å spørre, da det er å kunne svare på disse spørsmålene."

menu
menu